Ciao a tutti!

Sto cercando di derivare dai suoi casi particolari la formula generale
per le combinazioni con ripetizione:

(a) CC<n,m> = (n+m-1)!/(n-1)! x m!

che devo dimostrare (graditi suggerimenti ma NON soluzioni: ci devo
arrivare da solo).

Il primo dei casi particolari considera "n" uguale ad "m" con aggiunto
un tasso di ripetizione "r" variabile tra 0 ed "n=m"). Per ciascun
sottocaso "r", la formula trovata per ottenere le combinazioni
"dovrebbe" essere:

(b) CC<n=m,r> = C<n,r> x C(n-r,r>

La (a), almeno per il caso in cui "n" ed "m" sono uguali, "dovrebbe"
essere la sommatoria di tutti i (b) che saltano fuori assegnando ad "r"
tutti i possibili valori interi compresi tra 0 ed "n" (il dovrebbe è
dovuto al fatto che al momento, per me, è ancora solo un'ipotesi
indimostrata; una volta dimostrata mi servirà come passaggio intermedio
per dimostrare (a) per tutti i casi possibili).

La (b) funziona benissimo per tutti i casi in cui r>(m=n) ma ponendo
r=m=n e sviluppando la (b) in calcolo fattoriale, viene fuori un guaio,
ovvero:

(c) CC<n=m=r> = C<n,n> x C(0,n> = n!/(-n)! x (n!)^2

in cui il diavolo ci ha messo tutte e due le corna per intero: abbiamo
da una parte il fattoriale di un numero negativo e dall'altra che il
risultato, quale che sia, non è un numero intero.

Intuitivamente la soluzione di (c) dovrebbe essere semplicemente "n" ma
non sta qui il problema: il problema è come arrivarci formalmente!

Domanda 1: Come si tratta il fattoriale di un numero negativo?
Intuitivamente dovrebbe funzionare così: se "n" è pari il fattoriale è
positivo mentre se "n" è dispari il fattoriale è negativo. Ma il puntone
sta altrove, ovvero: è lecito elevare a fattoriale un numero negativo?

Domanda 2: Quando i calcoli su numeri fattoriali forniscono un risultato
frazionario, tale risultato è lecito o lo devo considerare un numero
"fantastico"? ("immaginario" l'hanno già usato per altri numeri,
quindi... :-).

Ciao... e scusate la rottura di balle! :-)

Piercarlo

NB - CC sta per combinazioni con ripetizione e C per combinazioni senza
ripetizione. Non so se esistono altre forme in "asciese" ma non me ne è
venuta in mente una migliore.

Piercarlo <piercarloboletti@tiscali.it> wrote:

(...)
>
> (b) CC<n=m,r> = C<n,r> x C(n-r,r>


Almeno per quanto riguarda questa ho trovato il "guaio": "r" deve
inferiore alla metà di "n" (se "n" è pari) o inferiore alla metà di
"n"+1 altrimenti si trovano solo pannocchie. E la sommatoria a cui
accennavo nel post precedente va fatta per tutti i termini ottenibili
con "r" limitato come sopra e poi moltiplicata per 2 (e questo mi
aggiusta un po' di cose...).

Le domande poste prima:

> Domanda 1: Come si tratta il fattoriale di un numero negativo?
> Intuitivamente dovrebbe funzionare così: se "n" è pari il fattoriale è
> positivo mentre se "n" è dispari il fattoriale è negativo. Ma il puntone
> sta altrove, ovvero: è lecito elevare a fattoriale un numero negativo?
>
> Domanda 2: Quando i calcoli su numeri fattoriali forniscono un risultato
> frazionario, tale risultato è lecito o lo devo considerare un numero
> "fantastico"? ("immaginario" l'hanno già usato per altri numeri,
> quindi... :-).

penso però che rimangano entrambe valide. In particolare la seconda,
anche se al riguardo di C<0,m> può solo dare una risposta assurda, ciò
non vale però già più se poniamo C<1,m>: qui abbiamo evidentemente che
"m" sta a indicare giusto quante volte "1" viene ripetuto. Però se la
mettiamo nella formuletta fattoriale solita:

C<1,m> = 1!/(1-m)! x m!

viene fuori un'altra assurditò. Mi piacerebbe sapere se sbaglio io ad
applicare al formuletta oltre i suoi limiti di validità oppure se, oltre
alla convenzione già nota 0!=1 ne esistono altre che non conosco (e che
nel libro di analisi che ho non vengono neppure segnalate).

Scusate questo e i futuri strafalcioni (li sto cucinando uno per
uno...:-) ma abbiate pazienza: dopotutto tra una settimana compio solo
due anni... :-PPPP

Ciao!
Piercarlo

Il 01 Dic 2003, 10:47, piercarloboletti@tiscali.it (Piercarlo) ha scritto:
> Ciao a tutti!

Ciao Piercarlo.

> Sto cercando di derivare dai suoi casi particolari la formula generale
> per le combinazioni con ripetizione:
>
> (a) CC<n,m> = (n+m-1)!/(n-1)! x m!
>
> che devo dimostrare (graditi suggerimenti ma NON soluzioni: ci devo
> arrivare da solo).

Provo a riformulare, in quanti modi puoi raggruppare n
oggetti in un massimo di n classi di oggetti identici.

Quindi devi escogitare una rappresentazione in cui ogni
oggetto abbia una classe pronta per lui che può eventualmente esser vuota.

E contare i modi di riempire queste classi con m oggetti.

> Il primo dei casi particolari considera "n" uguale ad "m" con aggiunto
> un tasso di ripetizione "r" variabile tra 0 ed "n=m").

Cosa è il tasso di ripetizione?

Per ciascun
> sottocaso "r", la formula trovata per ottenere le combinazioni
> "dovrebbe" essere:
>
> (b) CC<n=m,r> = C<n,r> x C(n-r,r>

Sforzo esegetico. Stai dicendo che posso scegliere
r gruppi di oggetti distinti da n che ne hai assegnati.
Poi però non capisco il secondo fattore. Dovrebbe
essere qualcosa del tipo che siccome gli oggetti
scelti sono ripetuti r volte... non capisco.

> La (a), almeno per il caso in cui "n" ed "m" sono uguali, "dovrebbe"
> essere la sommatoria di tutti i (b) che saltano fuori assegnando ad "r"
> tutti i possibili valori interi compresi tra 0 ed "n" (il dovrebbe è
> dovuto al fatto che al momento, per me, è ancora solo un'ipotesi
> indimostrata; una volta dimostrata mi servirà come passaggio intermedio
> per dimostrare (a) per tutti i casi possibili).
>
> La (b) funziona benissimo per tutti i casi in cui r>(m=n) ma ponendo
> r=m=n e sviluppando la (b) in calcolo fattoriale, viene fuori un guaio,
> ovvero:
>
> (c) CC<n=m=r> = C<n,n> x C(0,n> = n!/(-n)! x (n!)^2

Qui leggo zero. C(n,m) = 0 se m>n. Infatti:
n(n-1)(n-2)...(n-m+1) contiene il fattore zero.
Il che dice che difatto non c'è modo di scegliere
n+m oggetti distinti da n oggetti dati. E' una convenzione,
che non coinvolge affatto il fattoriale di un numero
negativo. La rappresentazione fattoriale dei coefficienti
binomiali è sensata solo se n>m. Ad ogni modo, se vuoi
si definisce il fattoriale di qualunque numero in termini
della funzione gamma e siccome la funzione
gamma(y+1) = Fact(y) dove Fact generalizza.
diverge quando y+1 tende a zero ritrovi il valore zero.

Anche se questo è fuori tema:
per altri valori negativi la rappresentazione integrale
della funzione gamma, che è valida solo per valori positivi
dell'argomento, fallisce, tuttavia si estende la funzione
gamma anche a valori negativi ricorrendo alla proprietà:

gamma(x+1)=x gamma(x). Dunque trovo i valori nell'intervallo
[-1,0) dai valori nell'intervallo [0,1). con la posizione:
gamma(x)=gamma(x+1)/(x). per x che tende a zero ritrovo
- infinito per x che tende a -1 ritrovo -infinito, i
valori nell'intervallo [-2,-1) sono positivi. E così il
segno della funzione continua ad esser piu' uno e meno uno,
etc.

> in cui il diavolo ci ha messo tutte e due le corna per intero: abbiamo
> da una parte il fattoriale di un numero negativo e dall'altra che il
> risultato, quale che sia, non è un numero intero.

zero è un intero, però, anche se non è positivo.


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Gianmarco Bramanti <gianmarco100@inwind.it> wrote:

> Il 01 Dic 2003, 10:47, piercarloboletti@tiscali.it (Piercarlo) ha scritto:
> > Ciao a tutti!
>
> Ciao Piercarlo.
>
> > Sto cercando di derivare dai suoi casi particolari la formula generale
> > per le combinazioni con ripetizione:
> >
> > (a) CC<n,m> = (n+m-1)!/(n-1)! x m!
> >
> > che devo dimostrare (graditi suggerimenti ma NON soluzioni: ci devo
> > arrivare da solo).
>
> Provo a riformulare, in quanti modi puoi raggruppare n
> oggetti in un massimo di n classi di oggetti identici.
>
> Quindi devi escogitare una rappresentazione in cui ogni
> oggetto abbia una classe pronta per lui che può eventualmente esser vuota.
>
> E contare i modi di riempire queste classi con m oggetti.

Innanzitutto grazie per avermi risposto. Mi tengo la dritta e più tardi
ci ponzo su.
>
> > Il primo dei casi particolari considera "n" uguale ad "m" con aggiunto
> > un tasso di ripetizione "r" variabile tra 0 ed "n=m").
>
> Cosa è il tasso di ripetizione?

E' una cosa che mi sono inventato io ad hoc per questo caso in cui hai
"n" oggetti raggruppabili in una combinazione di "m" = "n" oggetti. Nel
caso in cui non ci siano ripetizioni esiste una sola combinazione. Nel
caso invece ammetti delle ripetizioni allora hai diverse possibilità.
"r" ti permette di fissare QUANTE ripetizioni vuoi in "m" e in base a
questo calcolare le combinazioni che puoi ottenere. Se ci riesco vorrei
conservare questo "r" anche per i casi in cui "n" ed "m" siano
differenti tra loro.
>
> Per ciascun
> > sottocaso "r", la formula trovata per ottenere le combinazioni
> > "dovrebbe" essere:
> >
> > (b) CC<n=m,r> = C<n,r> x C(n-r,r>
>
> Sforzo esegetico. Stai dicendo che posso scegliere
> r gruppi di oggetti distinti da n che ne hai assegnati.
> Poi però non capisco il secondo fattore. Dovrebbe
> essere qualcosa del tipo che siccome gli oggetti
> scelti sono ripetuti r volte... non capisco.

E' presto detto: sempre nel caso in cui "n" = "m" una volta fissato "r"
si formano con ciò stesso DUE gruppi uno di oggetti INCLUSI in "m"
(ovvero "n-r") e uno di oggetti ESCLUSI (cioè "r"). Per come ho
ragionato io (e posso aver cannato alla grande...) le combinazioni
possibili sono il prodotto tra tutte le combinazioni possibili di
oggetti inclusi ed esclusi e le combinazioni rimanenti all'interno di
"m" in cui una volta fissato "r" devi contare tutti i possibili modi in
cui gli "n-r" elementi possono ripetersi rispettando il totale delle
ripetizioni (senza badare a CHI si ripete, con "r" un po' grande puoi
avere contemporaneamente un elemento che si ripete "r" volte oppure due
elementi che si ripetono "r1+r2 = r" volte, oppure... insomma è una
cipolla che non finisci più di pelare) e rispettando ovviamente la
dimensione del gruppo "m".
Del funzionamento del primo termine sono abbastanza sicuro, meno del
secondo, nel senso che non sono del tutto sicuro se si tratta di
"combinzioni" o di "disposizioni". Per il momento ritengo debbano essere
combinazioni - a parte le ripetizioni le combinazioni devono
distinguersi almeno per un elemento differente e non soltanto per un
ordinamento interno differente; ragion per cui mi sembra più logico un
prodotto di combinazioni che non di una combinazione e una disposizione.
Comunque per il momento è tutto "sperimentale": finché non arrivo a
ritrovare da solo la formula "ufficiale" non sono certo di niente..


> > La (a), almeno per il caso in cui "n" ed "m" sono uguali, "dovrebbe"
> > essere la sommatoria di tutti i (b) che saltano fuori assegnando ad "r"
> > tutti i possibili valori interi compresi tra 0 ed "n" (il dovrebbe è
> > dovuto al fatto che al momento, per me, è ancora solo un'ipotesi
> > indimostrata; una volta dimostrata mi servirà come passaggio intermedio
> > per dimostrare (a) per tutti i casi possibili).

Qui come, ho già segnalato nell'altro post, occorre limitare "r" alla
metà di "n" se pari o alla metà di "n-1" se dispari (con la metà di
"n+1" da calcolarsi per conto suo) in quanto oltre la metà di "n" le
combinazioni non fanno che ripetersi e quindi alla fine basta
moltiplicare le combinazioni ottenute con "r" da 0 a n/2 e moltiplicarle
per due (più una se "n" è dispari). Questo ha almeno due effetti
positivi: da un lato mi giustifica la presenza di un paio di "2" che mi
ritrovavo nella (a) per il caso "m=n", ovvero

CC<m,n> = (2n)!/2 x (n!)^2

(a memoria: non posso aprire il file di Word perché se no mi va in bomba
il Mac) e dall'altro mi evita di andare in zona "r>n/2" che è proprio la
zona dove è occorso "l'incidente" (e dove comunque - ma lo devo ancora
verificare - tutti i risultati sono da "incidente" perché danno una
frazione anziché un intero).


> (c) CC<n=m=r> = C<n,n> x C(0,n> = n!/(-n)! x (n!)^2
>
> Qui leggo zero. C(n,m) = 0 se m>n. Infatti:
> n(n-1)(n-2)...(n-m+1) contiene il fattore zero.

Ecco dove ho toppato! Grazie! Nel mio libro questo avvertimento NON
c'era... grrrrr!!!!

Ok tutto il resto fino a:

> Ad ogni modo, se vuoi si definisce il fattoriale di qualunque
> numero in termini della funzione gamma e siccome la funzione
> gamma(y+1) = Fact(y) dove Fact generalizza.
> diverge quando y+1 tende a zero ritrovi il valore zero.

E' già la seconda volta che salta fuori questo "gamma". Puoi spiegarmi
cos'è? Nel librozzo che ho non ne fa cenno... Vabbè che è del '46 però
insomma...

> Anche se questo è fuori tema:
> per altri valori negativi la rappresentazione integrale
> della funzione gamma, che è valida solo per valori positivi
> dell'argomento, fallisce, tuttavia si estende la funzione
> gamma anche a valori negativi ricorrendo alla proprietà:
> gamma(x+1)=x gamma(x).

Questo "gamma" mi sembra un po' troppo simile al fattoriale... Così
com'è sembra un modo di chiamare con un altro nome lo stesso uovo
(magari per cucinarlo in un altro modo... ma questo non lo so). Una
volta di più ho bisogno di lumi!


> Dunque trovo i valori nell'intervallo
> [-1,0) dai valori nell'intervallo [0,1). con la posizione:
> gamma(x)=gamma(x+1)/(x). per x che tende a zero ritrovo
> - infinito per x che tende a -1 ritrovo -infinito, i
> valori nell'intervallo [-2,-1) sono positivi. E così il
> segno della funzione continua ad esser piu' uno e meno uno,
> etc.
>
> > in cui il diavolo ci ha messo tutte e due le corna per intero: abbiamo
> > da una parte il fattoriale di un numero negativo e dall'altra che il
> > risultato, quale che sia, non è un numero intero.
>
> zero è un intero, però, anche se non è positivo.

Qui ho bisogno di un GROSSO chiarimento! Questo maledetto zero io l'ho
trattato come diceva il libro ovvero 0! = 1; da quello che dici mi pare
di capire che questa convezione vada osservata solo in opportuni e
selezionati casi (ovvero quando la presenza di uno zero nel fattoriale -
non nei fattori - annulla un risultato che ha le sue buone ragioni di
esistere)... altrimenti zero vale quanto il solito zero... E' giusto?

Domanda test per capirci qualcosa in più. Che cosa salta fuori da:

0! x 0! e da 0!/0! ?

e cosa salta fuori da

(0-1)! ?

Mah, spero che gli altri argomenti di analisi siano un po' meno
contorti! (i prossimi due capitoli parlano di determinanti e matrici con
permutazioni di "classe pari" e di "classe dispari", minori e
maggiori... saran cazzi mi sa...).

Ciao e grazie di nuovo!
Piercarlo

Il 01 Dic 2003, 19:30, piercarloboletti@tiscali.it (Piercarlo) ha scritto:

> > Cosa è il tasso di ripetizione?
>
> E' una cosa che mi sono inventato io ad hoc per questo caso in cui hai
> "n" oggetti raggruppabili in una combinazione di "m" = "n" oggetti. Nel
> caso in cui non ci siano ripetizioni esiste una sola combinazione. Nel
> caso invece ammetti delle ripetizioni allora hai diverse possibilità.
> "r" ti permette di fissare QUANTE ripetizioni vuoi in "m" e in base a
> questo calcolare le combinazioni che puoi ottenere. Se ci riesco vorrei
> conservare questo "r" anche per i casi in cui "n" ed "m" siano
> differenti tra loro.

Ad esempio:

a,b,c,d,e,f,g oggetti fra cui scegliere, n=m=8
supponiamo di avere r ripetizioni. Ad esempio:

aaaddffg ha quattro ripetizioni, dico giusto?


> > Sforzo esegetico. Stai dicendo che posso scegliere
> > r gruppi di oggetti distinti da n che ne hai assegnati.
> > Poi però non capisco il secondo fattore. Dovrebbe
> > essere qualcosa del tipo che siccome gli oggetti
> > scelti sono ripetuti r volte... non capisco.
>
> E' presto detto: sempre nel caso in cui "n" = "m" una volta fissato "r" si
formano con ciò stesso DUE gruppi uno di oggetti INCLUSI in "m" (ovvero
"n-r") e uno di oggetti ESCLUSI (cioè "r").

Scusa per il (cut). Penso ci sia una ripetizione di
conteggio. Mi sovviene di essere incorso una volta
nello stesso errore. Cioè scrivi: C(n,r)*C(n,n-r)
mentre in verità C(n,r)=C(n,n-r).

Del funzionamento del primo termine sono abbastanza sicuro, meno del
secondo, nel senso che non sono del tutto sicuro se si tratta di
"combinzioni" o di "disposizioni". Per il momento ritengo debbano essere
> combinazioni -

Sono combinazioni. Cioè hai risposto alla domanda:
in quanti modi posso scegliere n-r , ovvero i complementari
r fra n? Non escluderei che per questa via si arrivi a
qualche importante identità combinatoria. Però da quel
che ricordo l'approccio era molto complicato rispetto ad
una possibile soluzione del problema, che è più semplice.

a parte le ripetizioni le combinazioni devono
> distinguersi almeno per un elemento differente e non soltanto per un
> ordinamento interno differente;

però attento, combinazioni distinte hanno un distinto r,
inoltre se da due combinazioni rimangono fuori r oggetti
diversi da quelli che sono esclusi da un'altra combinazione
allora le combinazioni sono distinte. Quindi mi sembra che
questo sia un conteggio esatto: C(n,r) è il giusto conteggio
per le combinazioni con r ripetizioni di n oggetti fra n
oggetti.


> <m,n> = (2n)!/2 x (n!)^2
>
> (a memoria: non posso aprire il file di Word perché se no mi va in bomba
> il Mac) e dall'altro mi evita di andare in zona "r>n/2" che è proprio la
> zona dove è occorso "l'incidente" (e dove comunque - ma lo devo ancora
> verificare - tutti i risultati sono da "incidente" perché danno una
> frazione anziché un intero).
>
>
> > (c) CC<n=m=r> = C<n,n> x C(0,n> = n!/(-n)! x (n!)^2
> >
> > Qui leggo zero. C(n,m) = 0 se m>n. Infatti:
> > n(n-1)(n-2)...(n-m+1) contiene il fattore zero.
>
> Ecco dove ho toppato! Grazie! Nel mio libro questo avvertimento NON
> c'era... grrrrr!!!!
>
> Ok tutto il resto fino a:
>
> > Ad ogni modo, se vuoi si definisce il fattoriale di qualunque
> > numero in termini della funzione gamma e siccome la funzione
> > gamma(y+1) = Fact(y) dove Fact generalizza.
> > diverge quando y+1 tende a zero ritrovi il valore zero.
>
> E' già la seconda volta che salta fuori questo "gamma". Puoi spiegarmi
> cos'è? Nel librozzo che ho non ne fa cenno... Vabbè che è del '46 però
> insomma...

L'integrale da zero ad infinito di x^(n-1) e^(-x) dx
è gamma(n). Si dimostra che se n è intero positivo
gamma(n+1) vale n!

> > Anche se questo è fuori tema:
> > per altri valori negativi la rappresentazione integrale
> > della funzione gamma, che è valida solo per valori positivi
> > dell'argomento, fallisce, tuttavia si estende la funzione
> > gamma anche a valori negativi ricorrendo alla proprietà:
> > gamma(x+1)=x gamma(x).
>
> Questo "gamma" mi sembra un po' troppo simile al fattoriale... Così com'è
sembra un modo di chiamare con un altro nome lo stesso uovo (magari per
cucinarlo in un altro modo... ma questo non lo so). Una volta di più ho
bisogno di lumi!

E' un'estensione del fattoriale che è spuntata
quasi da sola nello sviluppo del binomio con esponente
frazionario. Credo che qualcosa di simile fosse noto
ad Eulero. Ma con Eulero è difficile trovare qualcosa
che non avesse trovato circa le serie infinite.



> Qui ho bisogno di un GROSSO chiarimento! Questo maledetto zero io l'ho
> trattato come diceva il libro ovvero 0! = 1; da quello che dici mi pare
> di capire che questa convezione vada osservata solo in opportuni e
> selezionati casi

Ricorda: gamma(n+1)=n! quindi 0!= gamma(1)
che diventa esp(-t) da zero ad infinito quindi
vale 1.

(ovvero quando la presenza di uno zero nel fattoriale -
> non nei fattori - annulla un risultato che ha le sue buone ragioni di
> esistere)... altrimenti zero vale quanto il solito zero... E' giusto?
>
> Domanda test per capirci qualcosa in più. Che cosa salta fuori da:
>
> 0! x 0! e da 0!/0! ?

1 ed ancora 1.

> e cosa salta fuori da
>
> (0-1)! ?

la funzione gamma(0) a rigore varrebbe infinito, tuttavia
ripeto, per valori non positivi dell'argomento la funzione
viene definita ricorrendo ai valori dove è definita, ad
esempio gamma(1/2) dovrebbe esser qualche funzione di pi
greco (si riduce ad un integrale gaussiano). Quindi per
gamma(-1/2)= - 1/2 gamma(1/2).

> Mah, spero che gli altri argomenti di analisi siano un po' meno
> contorti! (i prossimi due capitoli parlano di determinanti e matrici con
> permutazioni di "classe pari" e di "classe dispari", minori e
> maggiori... saran cazzi mi sa...).
>
> Ciao e grazie di nuovo!
> Piercarlo

Ciao.

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

Gianmarco Bramanti ha scritto:

(...)

> Ad esempio:

> a,b,c,d,e,f,g oggetti fra cui scegliere, n=m=8
> supponiamo di avere r ripetizioni. Ad esempio:
> aaaddffg ha quattro ripetizioni, dico giusto?

Sì. Se c'è qualcosa di cannato dillo: in queste cose ci si trova sempre
di fronte all'ennesimo travestimento di Stanislao Moulinski: devo
cominciare a contare da 1 o da zero? In questo caso è: ho tre oggetti
uguali; li conto come tre copie o come due copie di un originale?

(...).

> Scusa per il (cut). Penso ci sia una ripetizione di
> conteggio. Mi sovviene di essere incorso una volta
> nello stesso errore. Cioè scrivi: C(n,r)*C(n,n-r)
> mentre in verità C(n,r)=C(n,n-r).

Il secondo termine è C(n-r,r). Comunque ho capito il pericolo di cui mi
vuoi avvertire (contare due volte le stesse combinazioni); del resto era
proprio quello che stavo correndo a conteggiare i casi con "r" maggiori
della metà di "n": anche con i numeri non tutto il male vien per
nuocere.... :-)

(...)

> Sono combinazioni. Cioè hai risposto alla domanda:
> in quanti modi posso scegliere n-r , ovvero i complementari
> r fra n? Non escluderei che per questa via si arrivi a
> qualche importante identità combinatoria. Però da quel
> che ricordo l'approccio era molto complicato rispetto ad
> una possibile soluzione del problema, che è più semplice.

In effetti probabilmente la sto facendo più complicata del dovuto; ma a
parte il fatto che finora mi è risultato il miglior modo di imparare una
cosa (rifarla per conto mio) la dimostrazione del libro non è che brilli
per chiarezza. D'altra parte mi rendo conto che è un bello scoglio; tutte
le altre forme combinatorie me le sono già dimostrate questa è invece
un osso bello duro... pieno di tombini soprattutto.

> a parte le ripetizioni le combinazioni devono
> > distinguersi almeno per un elemento differente e non soltanto per
un
> > ordinamento interno differente;

> però attento, combinazioni distinte hanno un distinto r,
> inoltre se da due combinazioni rimangono fuori r oggetti
> diversi da quelli che sono esclusi da un'altra combinazione
> allora le combinazioni sono distinte. Quindi mi sembra che
> questo sia un conteggio esatto: C(n,r) è il giusto conteggio
> per le combinazioni con r ripetizioni di n oggetti fra n
> oggetti.

Ok, verificherò stasera. Può darsi benissimo che mi stia perdendo in
bicchier d'acqua.

(...)
>
> >E' già la seconda volta che salta fuori questo "gamma".
> >Puoi spiegarmi cos'è? Nel librozzo che ho non ne fa cenno...
> >Vabbè che è del '46 però insomma...

> L'integrale da zero ad infinito di x^(n-1) e^(-x) dx
> è gamma(n). Si dimostra che se n è intero positivo
> gamma(n+1) vale n!

> > Questo "gamma" mi sembra un po' troppo simile al fattoriale..
> > Così com'è sembra un modo di chiamare con un altro nome lo
> > stesso uovo (magari per cucinarlo in un altro modo... ma
> > questo non lo so). Una volta di più ho bisogno di lumi!

> E' un'estensione del fattoriale che è spuntata
> quasi da sola nello sviluppo del binomio con esponente
> frazionario.

Questa sì che è una notizia interessante!

> Credo che qualcosa di simile fosse noto
> ad Eulero. Ma con Eulero è difficile trovare qualcosa
> che non avesse trovato circa le serie infinite.

Prima o poi dovrò andare a cercare qualcosa di questo signor Eulero.
Ne parlano un sacco bene vedo... ;-).

(...)

> Ricorda: gamma(n+1)=n! quindi 0!= gamma(1)
> che diventa esp(-t) da zero ad infinito quindi
> vale 1.

Bhe, così suona molto meglio del "... si stabilisce che 0! è uguale a
1..." : ha un senso.

> la funzione gamma(0) a rigore varrebbe infinito, tuttavia
> ripeto, per valori non positivi dell'argomento la funzione
> viene definita ricorrendo ai valori dove è definita, ad
> esempio gamma(1/2) dovrebbe esser qualche funzione di pi
> greco (si riduce ad un integrale gaussiano). Quindi per
> gamma(-1/2)= - 1/2 gamma(1/2).

Hmmm... e io che pensavo che 'sti fattoriali servivano solo per tirar giù
la schedina! :-).

Ciao!
Piercarlo


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