Salve a Tutti , nel testo di Haag per dimostrare che su uno spazio di
Hilbert con infiniti gradi di liberta' ( da non confondere con la
dimensione che e' infinita anche in meccanica quantistica classica ) si
possono "costruire" rappresentazioni non equivalenti cioe' si possono
cotruire basi dello spazio di Fock non isomorfe attraverso un operatore
unitario usa il seguente ragionamento : parte dagli stati nello spazio
dei numeri di occupazione che sono ovviamente infiniti (i numeri di
occupazione) e li raccoglie in classi (gli stati) , due stati
apparterrano alla stessa classe se si differenziano per un numero finito
di numeri di occupazione, quindi due stati appartenenti a due classi
differenti differiranno per un numero infinito di numeri di occupazione
e questo fa dire all'autore che basta per dire che non vi e' un
operatore unitario che trasformi una classe nell'altra perche'? La
domanda forse e' banale e derivera' certamente dalle mie lacune in
analisi funzionale ma a mne sembra che le due classi possono essere
relazionate da una produttoria infinita di operatori di creazione e
distruzione allora la domanda diventa c'e' qualche banale teoremache non
ricordo che affermi che una produttoria infinita di operatori non puo'
diventare mai un operatore unitario?

Ringrazio chi vorra' rispondermi!

Saluti Corrado

Forse ho trovato una mezza risposta

Dato che una produttoria di infiniti operatori e' certamente non
limitata e l'operatore unitario e' limitato ed ha norma 1 e' risolta la
questione ma questo varebbe se trattassimo stati con un finito numero di
gradi di liberta' ma quando i gradi sono infiniti che tipo di norma
definiamo con la quale definire operatori limitati e no ?

Ciao, si conosco l'argomento di Haag.
Non mi e' mai piaciuta quell'idea perche' non l'ha mai chiarita,
matematicamente parlando, fino in fondo. Anche se e' fisicamente "vera".
Nel senso che tutte le volte che ho incontrato delle rappresentazioni
non equivalenti dell'algebra di Weyl (per esempio in rinormalizzazione)
c'era di mezzo una trasformazione unitaria formale di Bogoliubov che
faceva il giochetto di Haag, cioe' cercava di trasformare operatori
da una delle classi che dici ad un'altra, ma la cosa era impossibile
perche' il "nuovo" stato di vuoto conteneva, rispetto al vecchio,
infiniti numeri di occupazione occupati e non aveva norma finita nel
vecchio spazio di Hilbert...

Ciao, Valter


corrado wrote:
> Salve a Tutti , nel testo di Haag per dimostrare che su uno spazio di
> Hilbert con infiniti gradi di liberta' ( da non confondere con la
> dimensione che e' infinita anche in meccanica quantistica classica ) si
> possono "costruire" rappresentazioni non equivalenti cioe' si possono
> cotruire basi dello spazio di Fock non isomorfe attraverso un operatore
> unitario usa il seguente ragionamento : parte dagli stati nello spazio
> dei numeri di occupazione che sono ovviamente infiniti (i numeri di
> occupazione) e li raccoglie in classi (gli stati) , due stati
> apparterrano alla stessa classe se si differenziano per un numero finito
> di numeri di occupazione, quindi due stati appartenenti a due classi
> differenti differiranno per un numero infinito di numeri di occupazione
> e questo fa dire all'autore che basta per dire che non vi e' un
> operatore unitario che trasformi una classe nell'altra perche'? La
> domanda forse e' banale e derivera' certamente dalle mie lacune in
> analisi funzionale ma a mne sembra che le due classi possono essere
> relazionate da una produttoria infinita di operatori di creazione e
> distruzione allora la domanda diventa c'e' qualche banale teoremache non
> ricordo che affermi che una produttoria infinita di operatori non puo'
> diventare mai un operatore unitario?
>
> Ringrazio chi vorra' rispondermi!
>
> Saluti Corrado


--
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

Ciao Valter grazie per avermi risposto , ma il discorso che ho impostato
sulla non limitatezza di un operatore per passare da una classe
all'altra e' giusto?

Saluti Corrado

corrado wrote:
> Forse ho trovato una mezza risposta
>
> Dato che una produttoria di infiniti operatori e' certamente non
> limitata

Mica detto! Prendi, per esempio, in la classe infinita di matrici
complesse NxN eticchettate su n=1,2,3,...

A_n := (1/n^2) B_n

dove le matrici B_n soddisfano ||B_n||<k per un k fissato e
indipendentemente da n e per il resto sono arbitrarie.
Allora

somma su n di (1/n^2) A_n converge ad una matrice NXN che indico con S

e vale

exp(S)= prodotto su n di exp(A_n)

nota che exp(S) e' una matrice NxN per cui e' un operatore limitato...
Ciao, Valter


> e l'operatore unitario e' limitato ed ha norma 1 e' risolta la
> questione ma questo varebbe se trattassimo stati con un finito numero di
> gradi di liberta' ma quando i gradi sono infiniti che tipo di norma
> definiamo con la quale definire operatori limitati e no ?

Se sei in uno spazio di Hilbert-Fock, la norma e' quella naturalmente
indotta dallo spazio di Hilbert che genera lo spazio di Hilbert-Fock.
Pero'Haag considera uno spazio che NON e' di Hilbert-Fock perche' i suoi
vettori, per costruzione hanno proprio norma infinita nello spazio di
Hilbert-Fock associato. Questo e' il punto chiave. Il fatto e' che poi,
per motivi fisici si e' costretti ad interpretare tali vettori cone
fisicamente sensati, cambiando la norma dello spazio. A questo punto il
problema ricade NON nei due spazi di Hilbert, ma nella trasformazione
che li coinnette che non puo' piu' essere unitaria (infatti si chiama
trasformazione "singolare" di Bogoliubov)...
Ciao, Valter
--
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

corrado wrote:
> Forse ho trovato una mezza risposta
>
> Dato che una produttoria di infiniti operatori e' certamente non
> limitata

Mica detto! Prendi, per esempio, in la classe infinita di matrici
complesse NxN eticchettate su n=1,2,3,...

A_n := (1/n^2) B_n

dove le matrici B_n soddisfano ||B_n||<k per un k fissato e
indipendentemente da n e per il resto sono arbitrarie.
Allora

somma su n di (1/n^2) A_n converge ad una matrice NXN che indico con S

e vale

exp(S)= prodotto su n di exp(A_n)

nota che exp(S) e' una matrice NxN per cui e' un operatore limitato...

> e l'operatore unitario e' limitato ed ha norma 1 e' risolta la
> questione ma questo varebbe se trattassimo stati con un finito numero di
> gradi di liberta' ma quando i gradi sono infiniti che tipo di norma
> definiamo con la quale definire operatori limitati e no ?

Se sei in uno spazio di Hilbert-Fock, la norma e' quella naturalmente
indotta dallo spazio di Hilbert che genera lo spazio di Hilbert-Fock.
Pero'Haag considera uno spazio che NON e' di Hilbert-Fock perche' i suoi
vettori, per costruzione hanno proprio norma infinita nello spazio di
Hilbert-Fock associato. Questo e' il punto chiave. Il fatto e' che poi,
per motivi fisici si e' costretti ad interpretare tali vettori cone
fisicamente sensati, cambiando la norma dello spazio. A questo punto il
problema ricade NON nei due spazi di Hilbert, ma nella trasformazione
che li coinnette che non puo' piu' essere unitaria (infatti si chiama
trasformazione "singolare" di Bogoliubov)...
Ciao, Valter
--
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

corrado wrote:
> Forse ho trovato una mezza risposta
>
> Dato che una produttoria di infiniti operatori e' certamente non
> limitata

Mica detto! Prendi, per esempio, in la classe infinita di matrici
complesse NxN eticchettate su n=1,2,3,...

A_n := (1/n^2) B_n

dove le matrici B_n soddisfano ||B_n||<k per un k fissato e
indipendentemente da n e per il resto sono arbitrarie.
Allora

somma su n di A_n converge ad una matrice NXN che indico con S

e vale

exp(S)= prodotto su n di exp(A_n)

nota che exp(S) e' una matrice NxN per cui e' un operatore limitato...
Ciao, Valter


> e l'operatore unitario e' limitato ed ha norma 1 e' risolta la
> questione ma questo varebbe se trattassimo stati con un finito numero di
> gradi di liberta' ma quando i gradi sono infiniti che tipo di norma
> definiamo con la quale definire operatori limitati e no ?

Se sei in uno spazio di Hilbert-Fock, la norma e' quella naturalmente
indotta dallo spazio di Hilbert che genera lo spazio di Hilbert-Fock.
Pero'Haag considera uno spazio che NON e' di Hilbert-Fock perche' i suoi
vettori, per costruzione hanno proprio norma infinita nello spazio di
Hilbert-Fock associato. Questo e' il punto chiave. Il fatto e' che poi,
per motivi fisici si e' costretti ad interpretare tali vettori cone
fisicamente sensati, cambiando la norma dello spazio. A questo punto il
problema ricade NON nei due spazi di Hilbert, ma nella trasformazione
che li coinnette che non puo' piu' essere unitaria (infatti si chiama
trasformazione "singolare" di Bogoliubov)...
Ciao, Valter
--
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

corrado wrote:
> Forse ho trovato una mezza risposta
>
> Dato che una produttoria di infiniti operatori e' certamente non
> limitata

Mica detto! Prendi, per esempio, in la classe infinita di matrici
complesse NxN eticchettate su n=1,2,3,...

A_n := (1/n^2) B_n

dove le matrici B_n soddisfano ||B_n||<k per un k fissato e
indipendentemente da n e per il resto sono arbitrarie.
Allora

somma su n di A_n converge ad una matrice NXN che indico con S

e vale

exp(S)= prodotto su n di exp(A_n)

nota che exp(S) e' una matrice NxN per cui e' un operatore limitato...



> e l'operatore unitario e' limitato ed ha norma 1 e' risolta la
> questione ma questo varebbe se trattassimo stati con un finito numero di
> gradi di liberta' ma quando i gradi sono infiniti che tipo di norma
> definiamo con la quale definire operatori limitati e no ?

Se sei in uno spazio di Hilbert-Fock, la norma e' quella naturalmente
indotta dallo spazio di Hilbert che genera lo spazio di Hilbert-Fock.
Pero'Haag considera uno spazio che NON e' di Hilbert-Fock perche' i suoi
vettori, per costruzione hanno proprio norma infinita nello spazio di
Hilbert-Fock associato. Questo e' il punto chiave. Il fatto e' che poi,
per motivi fisici si e' costretti ad interpretare tali vettori cone
fisicamente sensati, cambiando la norma dello spazio. A questo punto il
problema ricade NON nei due spazi di Hilbert, ma nella trasformazione
che li connette che non puo' piu' essere unitaria (infatti si chiama
trasformazione "singolare" di Bogoliubov)...
Ciao, Valter
--
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

Mi sono espresso male intendevo una produttoria di infiniti operatori di
creazione e distruzione che agiscono ognuno su gradi di liberta'
differenti in questo caso ha senso dire che non sono limitati?
Possiamo affermare che uno stato dello spazio di Hilbert-Fock appartiene
a un sottoinsieme dello spazio di Haag ? Nella stessa misura in qui
diciamo che una pallina che si muove su un tavolo ha due gradi di
liberta' pur stando in uno spazio a tre dimensioni?
Per creare una norma sul suo spazio Haag come fa'? Si potrebbe
introdurre un esponenziale ad esponente negativo funzione dei numeri i
occupazione da associare ad ogni stato ed integrare sullo spazio dei
numeri di occupazione una volta introdotta un'adeguata misura , in modo
da "spegnere" i gradi di liberta'?
Un'ultima domanda sperando che troverai il tempo di rispondermi :-)Haag
sottolinea , quando introduce il concetto di classi non equivalenti
pagina 54 , il fatto che vi possono essere stati a " norma infinita " e
credo che in questo caso parli di stati di Hilbert-Fock in particolare
parla di stati fermionici con numeri di occupazione 0 e 1 ovviamente e
si inventa una corrispondenza uno a uno tra questi stati e i punti di un
segmento di retta reale chiuso [0,1] scrivendo che ogni sequenza di uni
e zeri puo' essere vista come la rappresentazione di un numero intero e
credo che dia per scontato che ci mettiamo un bel 0, avanti ad ognuno di
questi numeri e il gioco e' fatto , quindi ogni punto del segmento
rappresenta uno stato non normalizzabile nello spazio di Hilbert-Fock
poi afferma che su questo segmento possiamo creare uno spazio di
funzioni quadrato integrabile , ma queste funzioni cosa sono? Sono
funzionali perche' agiscono su "stati"? E la misura che deve essere
introdotta deve essere ben diversa da quella a cui siamo abituati
altrimenti il singolo punto avrebbe misura nulla ma quello e' uno stato
, oppure introduciamo tante delta di Dirac per ogni punto in modo che
possiamo mantenere la vecchia misura e a questo punto che tipo di
prodotto scalare introdurre?

Grazie per l'attenzione!

Saluti Corrado

Ciao, non ho proprio tempo per risponderti. Appena lo trovo ti dico
qualcosa (quello che ho capito).
Ciao, Valter

corrado wrote:
> Mi sono espresso male intendevo una produttoria di infiniti operatori di
> creazione e distruzione che agiscono ognuno su gradi di liberta'
> differenti in questo caso ha senso dire che non sono limitati?
> Possiamo affermare che uno stato dello spazio di Hilbert-Fock appartiene
> a un sottoinsieme dello spazio di Haag ? Nella stessa misura in qui
> diciamo che una pallina che si muove su un tavolo ha due gradi di
> liberta' pur stando in uno spazio a tre dimensioni?
> Per creare una norma sul suo spazio Haag come fa'? Si potrebbe
> introdurre un esponenziale ad esponente negativo funzione dei numeri i
> occupazione da associare ad ogni stato ed integrare sullo spazio dei
> numeri di occupazione una volta introdotta un'adeguata misura , in modo
> da "spegnere" i gradi di liberta'?
> Un'ultima domanda sperando che troverai il tempo di rispondermi :-)Haag
> sottolinea , quando introduce il concetto di classi non equivalenti
> pagina 54 , il fatto che vi possono essere stati a " norma infinita " e
> credo che in questo caso parli di stati di Hilbert-Fock in particolare
> parla di stati fermionici con numeri di occupazione 0 e 1 ovviamente e
> si inventa una corrispondenza uno a uno tra questi stati e i punti di un
> segmento di retta reale chiuso [0,1] scrivendo che ogni sequenza di uni
> e zeri puo' essere vista come la rappresentazione di un numero intero e
> credo che dia per scontato che ci mettiamo un bel 0, avanti ad ognuno di
> questi numeri e il gioco e' fatto , quindi ogni punto del segmento
> rappresenta uno stato non normalizzabile nello spazio di Hilbert-Fock
> poi afferma che su questo segmento possiamo creare uno spazio di
> funzioni quadrato integrabile , ma queste funzioni cosa sono? Sono
> funzionali perche' agiscono su "stati"? E la misura che deve essere
> introdotta deve essere ben diversa da quella a cui siamo abituati
> altrimenti il singolo punto avrebbe misura nulla ma quello e' uno stato
> , oppure introduciamo tante delta di Dirac per ogni punto in modo che
> possiamo mantenere la vecchia misura e a questo punto che tipo di
> prodotto scalare introdurre?
>
> Grazie per l'attenzione!
>
> Saluti Corrado


--
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Valter Moretti
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University of Trento
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