Ciao,
Il seguente \`e un problema che fino a poco tempo fa non mi ero mai posto,
sarei contento che qualcuno avesse voglia di parlarne:

il problema è brevemente il seguente_

prendiamo una funzione differenziabile f a valori reali definita su una
variet\`a differenziabile n-dimensionale e consideriamo il polinomio di
Taylor per f arrestato all'ordine k con k >=2 centrato in un un punto p di M
..

Allora il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 2
\`e definito in modo intrinseco, ossia indipendente dalla scelta arbitraria
di qualsiasi carta locale per M in un intorno di p (senza ledere la
generalit\`a possiamo prenderla centrata in p) se e soltanto se il
coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è NULLO.
Osserviamo che il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è
chiamato anche differenziale di f nel punto p.

Bene, questa affermazione credo sia vera, ma la dimostrazione non riesco a
farla. Mi piacerebbe se qualcuno di voi mi desse una mano.
Grazie Tern_

"tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
news:R73yb.152053$vO5.5938375@twister1.libero.it.. .
> Ciao,
> Il seguente \`e un problema che fino a poco tempo fa non mi ero mai posto,
> sarei contento che qualcuno avesse voglia di parlarne:
>
> il problema è brevemente il seguente_
>
> prendiamo una funzione differenziabile f a valori reali definita su una
> variet\`a differenziabile n-dimensionale e consideriamo il polinomio di
> Taylor per f arrestato all'ordine k con k >=2 centrato in un un punto p di
M
> .
>
> Allora il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 2
> \`e definito in modo intrinseco, ossia indipendente dalla scelta
arbitraria
> di qualsiasi carta locale per M in un intorno di p (senza ledere la
> generalit\`a possiamo prenderla centrata in p) se e soltanto se il
> coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è NULLO.
> Osserviamo che il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è
> chiamato anche differenziale di f nel punto p.
>
> Bene, questa affermazione credo sia vera, ma la dimostrazione non riesco a
> farla. Mi piacerebbe se qualcuno di voi mi desse una mano.

E' falso. Innanzitutto i coefficienti del polinomio di Taylor sono piu' di
uno per grado, e poi è abbastanza chiaro che dipendono dalla carta nella
quale li hai calcolati.
E' vero tuttavia che esiste una nozione intrinseca di differenziale, e anche
una di differenziale secondo nel caso in cui il primo sia nullo. Esso è
definito da h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad un
intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se df=0 in p.
Esiste inoltre una costruzione un po' piu' complicata, il fibrato dei p-jet,
le cui fibre sono grosso modo i germi dei troncamenti all'ordine p degli
sviluppi di Taylor delle funzioni C^infinito, che pero' non ho mai
approfondito, quindi non so dirti molto di piu'.
Posso dirti, pero', che se la tua varietà e' dotata di una connessione (ad
esempio perche' possiede una metrica pseudo-riemanniana), allora puoi fare
la derivata covariante del differenziale, e questo corrisponde al tensore h
sopra definito quando df = 0 ( infatti d^2 f (X,Y) = YXf - (D_Y X) f, dove D
è la connessione ).

Ciao,

Paolo.

Il 29 Nov 2003, 18:32, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
scritto:

> E' vero tuttavia che esiste una nozione intrinseca di differenziale, e
anche una di differenziale secondo nel
caso in cui il primo sia nullo. Esso è definito da
h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad
un intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se
df=0 in p.
Esiste inoltre una costruzione un po' piu' complicata, il fibrato dei p-jet,
le cui fibre sono grosso modo i germi dei troncamenti all'ordine p degli
sviluppi di Taylor delle funzioni C^infinito, che pero' non ho mai
approfondito, quindi non so dirti molto di piu'.

Posso dirti, pero', che se la tua varietà e' dotata di una connessione (ad
esempio perche' possiede una metrica pseudo-riemanniana), allora puoi fare
la derivata covariante del differenziale, e questo corrisponde al tensore h
sopra definito quando df = 0 ( infatti d^2 f (X,Y) = YXf - (D_Y X) f, dove D
è la connessione ).

Ciao,

Paolo.


Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà
voglio chiedere se questo corrisponde a dire in modo generale
quello che nel caso delle superfici si esprime dicendo che la
conoscenza della prima forma fondamentale e della seconda forma
fondamentale per una superfice liscia caratterizza la superfice
a meno di isometriee. Questo si chiama teorema egregium? O è
inesatto?

Altra curiosità: ho appreso di recente che il gruppo di
coomologia di De Rham caratterizza la struttura topologica
di una varietà. Ora quel che mi chiedo è che nesso esiste
fra il quoziente delle forme antisimmetriche chiuse sulle
forme esatte ed il fibrato dei jet delle funzioni.

Cioè se da una parte considero le forme esterne, come nella
gruppo di De Rham, nell'altro considero le funzioni, che
però sono in qualche modo gli oggetti a cui le multi-forme prendono le
misure. Ora: è possibile che le estensioni
analitiche dei germi, che sono estendibili a tutta la varietà
ne rappresentino, in qualche senso, l'insieme delle una metrizzazione
possibili?

Forse mi risponderete quarantuno, che è la febbre da cavallo
che mi sento per queste cose, ma abbiate pazienza.


--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

"Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> wrote in message
news:212Z171Z49Z62Y1070134559X14951@usenet.libero. it...
> Il 29 Nov 2003, 18:32, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> scritto:
>
> Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà
> voglio chiedere se questo corrisponde a dire in modo generale
> quello che nel caso delle superfici si esprime dicendo che la
> conoscenza della prima forma fondamentale e della seconda forma
> fondamentale per una superfice liscia caratterizza la superfice
> a meno di isometriee. Questo si chiama teorema egregium? O è
> inesatto?

Direi che è inesatto. Il teorema egregium dice che la curvatura gaussiana,
definita in termini della seconda forma fondamentale (che _non_ è invariante
per isometrie) dipende solo dalla prima forma fondamentale (ovvero dai
coefficienti di Christoffel), dunque è un invariante nella classe di
isometria della superficie.
In generale, per una varietà (pseudo)riemanniana, si definisce la curvatura
in termini della connessione di Levi-Civita, che è l'unica connessione
compatibile con la metrica e a torsione identicamente nulla. Messa la
questione in questi termini, l'analogo del teorema egregium è una banalità,
in quanto la curvatura è definita intrinsecamente a partire dalla metrica
riemanniana.

> Altra curiosità: ho appreso di recente che il gruppo di
> coomologia di De Rham caratterizza la struttura topologica
> di una varietà.

Penso che questa affermazione sia falsa. Esiste una 3-varietà non
semplicemente connessa con gli stessi gruppi di coomologia della 3-sfera.
D'altra parte alcune coppie di spazi lenticolari sono omotopicamente
equivalenti, ma non omeomorfi, e la coomologia è invariante per equivalenza
omotopica.

> Ora quel che mi chiedo è che nesso esiste
> fra il quoziente delle forme antisimmetriche chiuse sulle
> forme esatte ed il fibrato dei jet delle funzioni.
>
> Cioè se da una parte considero le forme esterne, come nella
> gruppo di De Rham, nell'altro considero le funzioni, che
> però sono in qualche modo gli oggetti a cui le multi-forme prendono le
> misure. Ora: è possibile che le estensioni
> analitiche dei germi, che sono estendibili a tutta la varietà
> ne rappresentino, in qualche senso, l'insieme delle una metrizzazione
> possibili?

Non capisco la tua domanda, mi spiace... puoi riformularla?

"Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha scritto nel messaggio
news:bqal6u$2029ee$1@ID-189748.news.uni-berlin.de...
> "tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
> news:R73yb.152053$vO5.5938375@twister1.libero.it.. .
> > Ciao,
> > Il seguente \`e un problema che fino a poco tempo fa non mi ero mai
posto,
> > sarei contento che qualcuno avesse voglia di parlarne:
> >
> > il problema è brevemente il seguente_
> >
> > prendiamo una funzione differenziabile f a valori reali definita su una
> > variet\`a differenziabile n-dimensionale e consideriamo il polinomio di
> > Taylor per f arrestato all'ordine k con k >=2 centrato in un un punto p
di
> M
> > .
> >
> > Allora il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 2
> > \`e definito in modo intrinseco, ossia indipendente dalla scelta
> arbitraria
> > di qualsiasi carta locale per M in un intorno di p (senza ledere la
> > generalit\`a possiamo prenderla centrata in p) se e soltanto se il
> > coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è NULLO.
> > Osserviamo che il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1
è
> > chiamato anche differenziale di f nel punto p.
> >
> > Bene, questa affermazione credo sia vera, ma la dimostrazione non riesco
a
> > farla. Mi piacerebbe se qualcuno di voi mi desse una mano.
>
> E' falso. Innanzitutto i coefficienti del polinomio di Taylor sono piu' di
> uno per grado,

questo \`e ovvio sse n>1, falso altrimenti.

e poi è abbastanza chiaro che dipendono dalla carta nella
> quale li hai calcolati.

> E' vero tuttavia che esiste una nozione intrinseca di differenziale, e
anche
> una di differenziale secondo nel caso in cui il primo sia nullo. Esso è
> definito da h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad un
> intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se df=0 in p.

Ecco, questo è quello che mi chiedevo, perch\`e è ben definito sse df=0 in p
? La mia domanda precisa \`e esattamente: cosa succede di storto se df non
\`e 0 inn p?

> Esiste inoltre una costruzione un po' piu' complicata, il fibrato dei
p-jet,
> le cui fibre sono grosso modo i germi dei troncamenti all'ordine p

sono d'accordo

degli
> sviluppi di Taylor delle funzioni C^infinito, che pero' non ho mai
> approfondito, quindi non so dirti molto di piu'.


> Posso dirti, pero', che se la tua varietà e' dotata di una connessione (ad
> esempio perche' possiede una metrica pseudo-riemanniana), allora puoi fare
> la derivata covariante del differenziale, e questo corrisponde al tensore
h
> sopra definito quando df = 0 ( infatti d^2 f (X,Y) = YXf - (D_Y X) f, dove
D
> è la connessione ).

si, infatti si parla di "hessiano covariante".

Grazie Paolo per ora

Tern

"Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> ha scritto nel messaggio
news:212Z171Z49Z62Y1070134559X14951@usenet.libero. it...
> Il 29 Nov 2003, 18:32, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> scritto:
>
> > E' vero tuttavia che esiste una nozione intrinseca di differenziale, e
> anche una di differenziale secondo nel
> caso in cui il primo sia nullo. Esso è definito da
> h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad
> un intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se
> df=0 in p.
> Esiste inoltre una costruzione un po' piu' complicata, il fibrato dei
p-jet,
> le cui fibre sono grosso modo i germi dei troncamenti all'ordine p degli
> sviluppi di Taylor delle funzioni C^infinito, che pero' non ho mai
> approfondito, quindi non so dirti molto di piu'.
>
> Posso dirti, pero', che se la tua varietà e' dotata di una connessione (ad
> esempio perche' possiede una metrica pseudo-riemanniana), allora puoi fare
> la derivata covariante del differenziale, e questo corrisponde al tensore
h
> sopra definito quando df = 0 ( infatti d^2 f (X,Y) = YXf - (D_Y X) f, dove
D
> è la connessione ).
>
> Ciao,
>
> Paolo



> Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà

Paolo non lo so io non di sicuro.

> voglio chiedere se questo corrisponde a dire in modo generale
> quello che nel caso delle superfici si esprime dicendo che la
> conoscenza della prima forma fondamentale e della seconda forma
> fondamentale per una superfice liscia caratterizza la superfice
> a meno di isometriee. Questo si chiama teorema egregium? O è
> inesatto?

Ciao Gianmarco, devo dire che io ho pensato alla stessa identica
cosa ieri pomeriggio intorno alle 16:00, STESSA IDENTICA
COSA.

> Altra curiosità

E qui io sono non ignorante, di +. Per ora.

Tern_

"Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha scritto nel messaggio
news:bqav24$1vl0ue$1@ID-189748.news.uni-berlin.de...
> "Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> wrote in message
> news:212Z171Z49Z62Y1070134559X14951@usenet.libero. it...
> > Il 29 Nov 2003, 18:32, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> > scritto:
> >
> > Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà
> > voglio chiedere se questo corrisponde a dire in modo generale
> > quello che nel caso delle superfici si esprime dicendo che la
> > conoscenza della prima forma fondamentale e della seconda forma
> > fondamentale per una superfice liscia caratterizza la superfice
> > a meno di isometriee. Questo si chiama teorema egregium? O è
> > inesatto?
>
> Direi che è inesatto. Il teorema egregium dice che la curvatura gaussiana,
> definita in termini della seconda forma fondamentale (che _non_ è
invariante
> per isometrie) dipende solo dalla prima forma fondamentale (ovvero dai
> coefficienti di Christoffel), dunque è un invariante nella classe di
> isometria della superficie.

esatto, complimenti per la chiarezza non da tutti in questo campo ti posso
assicurare.

> In generale, per una varietà (pseudo)riemanniana, si definisce la
curvatura
> in termini della connessione di Levi-Civita, che è l'unica connessione
> compatibile con la metrica e a torsione identicamente nulla. Messa la
> questione in questi termini, l'analogo del teorema egregium è una
banalità,
> in quanto la curvatura è definita intrinsecamente a partire dalla metrica
> riemanniana.

Esatto.

Tern_

"tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
news:qUiyb.157558$e6.5748735@twister2.libero.it...

> > E' falso. Innanzitutto i coefficienti del polinomio di Taylor sono piu'
di
> > uno per grado,
>
> questo \`e ovvio sse n>1, falso altrimenti.

Si', certo. =)

> > Esso è
> > definito da h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad un
> > intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se df=0 in p.
>
> Ecco, questo è quello che mi chiedevo, perch\`e è ben definito sse df=0 in
p
> ? La mia domanda precisa \`e esattamente: cosa succede di storto se df non
> \`e 0 inn p?

Non è bilineare, e non è nemmeno simmetrico (in generale). Infatti (se
pensiamo X,Y definiti in un intorno)
h(gX,Y) = Y((gX)f) = Yg Xf + (gYX)f = Yg Xf + g h(X,Y)
h(X,Y) - h(Y,X) = -[X,Y] f
Come vedi, tutto funziona se df=0, in quanto in tal caso Xf=0 e [X,Y] f = 0.

> > Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà

> Paolo non lo so io non di sicuro.

Nemmeno io, sono solo uno studente...

Ciao,

Paolo.

"Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> wrote in message news:<bqal6u$2029ee$1@ID-189748.news.uni-berlin.de>...
> "tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
> news:R73yb.152053$vO5.5938375@twister1.libero.it.. .
> > Ciao,
> > Il seguente \`e un problema che fino a poco tempo fa non mi ero mai posto,
> > sarei contento che qualcuno avesse voglia di parlarne:
> >
> > il problema è brevemente il seguente_
> >
> > prendiamo una funzione differenziabile f a valori reali definita su una
> > variet\`a differenziabile n-dimensionale e consideriamo il polinomio di
> > Taylor per f arrestato all'ordine k con k >=2 centrato in un un punto p di
> M
> > .
> >
> > Allora il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 2
> > \`e definito in modo intrinseco, ossia indipendente dalla scelta
> arbitraria
> > di qualsiasi carta locale per M in un intorno di p (senza ledere la
> > generalit\`a possiamo prenderla centrata in p) se e soltanto se il
> > coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è NULLO.
> > Osserviamo che il coefficiente del polinomio di Taylor di f di ordine 1 è
> > chiamato anche differenziale di f nel punto p.
> >
> > Bene, questa affermazione credo sia vera, ma la dimostrazione non riesco a
> > farla. Mi piacerebbe se qualcuno di voi mi desse una mano.
>
> E' falso. Innanzitutto i coefficienti del polinomio di Taylor sono piu' di
> uno per grado, e poi è abbastanza chiaro che dipendono dalla carta nella
> quale li hai calcolati.

Ciao, credo che tern abbia scritto male quello che intendeva.
Se detto bene e' vero quello che pensa e coincide proprio con
quello che hai scritto tu sotto nel caso di assenza di
connessione.
Tern vuole dire quanto segue, secondo me. Sia
f: M -> R differenziabile (ordine 2con continuita' o
Cinfinito) dove M e' una varieta' differenziabile in M,
Scelta una carta locale attorno ad un fissato p in M
consideriamo la matrice hessiana di f in p, h_p, nelle
coordinate considerate. Al variare delle coordinate,
le matrici hessiane cosi' costruite definiscono un tensore
doppio simmetrico covariante in p (cioe' di T^*_pM tensor T^*_pM)
SE E SOLO SE df_p = 0. Il tensore h_p e' quindi un funzionale
bilineare da su T_pM X T_pM che produce lo scalare che tu
hai indicato con h(X,Y) se X e Y sono in T_pM.
La dimostrazione e' pressoche' immediata in coordinate, almeno il SE.
Il SOLO SE e' leggermente meno banale, ma ovvio anch'esso.

Per il resto di quello che hai scritto sono d'accordo con te.
Ciao, Valter

> E' vero tuttavia che esiste una nozione intrinseca di differenziale, e anche
> una di differenziale secondo nel caso in cui il primo sia nullo. Esso è
> definito da h(X,Y) = YX'f, dove X' è una qualunque estensione di X ad un
> intorno di p. Questo tensore è ben definito se e solo se df=0 in p.
> Esiste inoltre una costruzione un po' piu' complicata, il fibrato dei p-jet,
> le cui fibre sono grosso modo i germi dei troncamenti all'ordine p degli
> sviluppi di Taylor delle funzioni C^infinito, che pero' non ho mai
> approfondito, quindi non so dirti molto di piu'.
> Posso dirti, pero', che se la tua varietà e' dotata di una connessione (ad
> esempio perche' possiede una metrica pseudo-riemanniana), allora puoi fare
> la derivata covariante del differenziale, e questo corrisponde al tensore h
> sopra definito quando df = 0 ( infatti d^2 f (X,Y) = YXf - (D_Y X) f, dove D
> è la connessione ).
>
> Ciao,
>
> Paolo.

Scusami Paolo, vai un attimo a pagina 30 del documento che puoi scaricare
all'indirizzo
http://home.xnet.it/vtosatti/papers/geodiff.ps

definizione 3.3.8.

Li c'è scritto che nabla^2 f è un tensore, o meglio, un campo di tensori.
In base a quello che mi hai fatto notare nabla^2 f(p) non è un tensore
perch\`e non \`e C^infty M -lineare , per esempio nel primo argomento. devo
dedurre che c'è un errore a pagina 30?

Grazie