Il 01 Dic 2003, 16:36, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
scritto:

> > E trovo che la seconda forma fondamentale per il piano
> > è identicamente nulla, mentre per il cilindro trovo
> > una curvatura gaussiana non nulla.

> No, la curvatura gaussiana, almeno secondo la definizione che conosco io,
è
> nulla in entrambi i casi.

La curvatura gaussiana secondo la definizione di Gauss è
il valor medio delle curvature massima e minima. Ovvero,
se si usano coordinate riemanniane, gli autovalori
dell'hessiano.


> > Però suppongo che dal punto di vista intrinseco la
> > seconda forma fondamentale risulta nulla in entrambi
> > i casi.
>
> La prima, non la seconda.

No mi permetto di insistere. E' la seconda forma
fondamentale che si annulla nel piano, la prima forma fondamentale dipende
dalla scelta delle coordinate ed è il tensore metrico, assegna ad un vettore
velocità dello spazio tangente la lunghezza. La prima forma fondamentale,
appunto
non basta a descrivere la forma della superfice se la
curvatura intrinseca si annulla, ed occorre la seconda
forma fondamentale.

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> curvatura intrinseca si annulla, ed occorre la seconda
> forma fondamentale.

teorema di Bonnet

"Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> wrote in message
news:192Z167Z204Z4Y1070294663X25381@usenet.libero. it...
> Il 01 Dic 2003, 16:36, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> scritto:
>
> > > E trovo che la seconda forma fondamentale per il piano
> > > è identicamente nulla, mentre per il cilindro trovo
> > > una curvatura gaussiana non nulla.
>
> > No, la curvatura gaussiana, almeno secondo la definizione che conosco
io,
> è
> > nulla in entrambi i casi.
>
> La curvatura gaussiana secondo la definizione di Gauss è
> il valor medio delle curvature massima e minima. Ovvero,
> se si usano coordinate riemanniane, gli autovalori
> dell'hessiano.

Questa la chiamo curvatura media. La curvatura gaussiana per me è il
prodotto degli autovalori della seconda forma fondamentale.

> > > Però suppongo che dal punto di vista intrinseco la
> > > seconda forma fondamentale risulta nulla in entrambi
> > > i casi.
> >
> > La prima, non la seconda.
>
> No mi permetto di insistere. E' la seconda forma
> fondamentale che si annulla nel piano, la prima forma fondamentale dipende
> dalla scelta delle coordinate ed è il tensore metrico, assegna ad un
vettore
> velocità dello spazio tangente la lunghezza.

Nel piano si annullano entrambe, nel cilindro la prima. Dal punto di vista
riemanniano piano e cilindro sono la stessa cosa (localmente), quella che
cambia e' l'immersione (un po' come una circonferenza e un nodo non banale
in R^3 dal punto di vista topologico).

Ciao,

Paolo.

Il 01 Dic 2003, 17:13, "tern" <tern_@ibero.it> ha scritto:
> > curvatura intrinseca si annulla, ed occorre la seconda
> > forma fondamentale.
>
> teorema di Bonnet

Vediamo di mettere un poco d'ordine.
Il teorema egregium garantisce che la curvatra intrinseca
dipende solo dalla geometria intrinseca.

Il teorema di Gauss-Bonnet invece è un teorema
che riguarda esclusivamente le strutture simplettiche
con cui la superfice può essere approssimata. E deriva
essenzialmente dalla circostanza che la somma degli angoli
interni di un triangolo vale 2pi.

Riguardo alla curvatura media (userò questo termine
per evitare equivoci, ed il termine di curvatura intrinseca
per il prodotto delle curvature principali). La curvatura
media, dicevo, che per esempio nel caso di un poliedro
prende in considerazione gli spigoli oltre che i vertici,
ha parte nel teorema di Weyl. Che consente ad esempio di
correlare la curvatura media con la densità di carica
su una superfice in alcuni casi di oggetti non troppo
concavi. Ed ancora esprime proprietà geometriche
elementari legate alla possibilità di triangolare una
superfice ovvero di tassellare con k-simplessi una
k-ipersuperfice.

Per ottenere risultati sulla rigidità di una superfice
quando la curvatura intrinseca è non nulla occorre
riflettere sulla circostanza che un vertice in cui
concorrono tre spigoli, nel caso di un poliedro, non
può essere deformato e che questa è una proprietà che
deriva dall'eccesso o dal difetto sferico, misurato come
somma delle deviazioni dalla tangente diminuito di 2pi.

Per ricollegare questa osservazione al linguaggio delle
forme differenziali c'è il teorema di Peterson-Bonnet.
Che fa essenzialmente uso del teorema di Dini sulle
funzioni implicite. Ovvero: localmente, la condizione
di applicabilità del teorema delle funzioni implicite,
permette di estendere, almeno localmente, la superfice
in modo univoco se ne è nota la seconda forma differenziale,
almeno questo mi sembrava di avere concluso quando pensavo
alla nozione di indipendenza funzionale.




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On Mon, 01 Dec 2003 16:04:23 GMT, Gianmarco Bramanti wrote:
>Il 01 Dic 2003, 16:36, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
>scritto:

>>>E trovo che la seconda forma fondamentale per il piano
>>>è identicamente nulla, mentre per il cilindro trovo
>>>una curvatura gaussiana non nulla.

>>No, la curvatura gaussiana, almeno secondo la definizione che
>>conosco io, è nulla in entrambi i casi.

>La curvatura gaussiana secondo la definizione di Gauss è
>il valor medio delle curvature massima e minima. Ovvero,
>se si usano coordinate riemanniane, gli autovalori
>dell'hessiano.

Detta: b_ik csi^i csi^k, la seconda forma quadratica
fondamentale [csi e` la variabile del polinomio di ii
grado], per la curvatura gaussiana K risulta in tutti gli
autori:
(1) K = 1/R_1/R_2 = det||b^k_i|| = det||b_ik||/a
dove a e` il determinante della metrica:
(2) a=det||a_ik||=|e_i scalar e_k|^2

Il legame algebrico tra il tensore di curvatura e il ii
tensore fondamentale b_ik della superficie equivale alla
condizione:
(3) R_1212=aK.
vedi un po' tu se in una superficie sviluppabile svanisce
identicamente insieme con l'annullamento identico di K.

--
Ciao, | Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda | E-mail: remigioz@tiscali.it

-- Linux 2.4.22 su Slackware 9.1

Il 01 Dic 2003, 19:13, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
scritto:

> > La curvatura gaussiana secondo la definizione di Gauss è
> > il valor medio delle curvature massima e minima. Ovvero,
> > se si usano coordinate riemanniane, gli autovalori
> > dell'hessiano.
>
> Questa la chiamo curvatura media. La curvatura gaussiana per me è il
> prodotto degli autovalori della seconda forma fondamentale.
>
> > > > Però suppongo che dal punto di vista intrinseco la
> > > > seconda forma fondamentale risulta nulla in entrambi
> > > > i casi.
> > >
> > > La prima, non la seconda.
> >
> > No mi permetto di insistere. E' la seconda forma
> > fondamentale che si annulla nel piano, la prima forma fondamentale
dipende
> > dalla scelta delle coordinate ed è il tensore metrico, assegna ad un
> vettore
> > velocità dello spazio tangente la lunghezza.
>
> Nel piano si annullano entrambe, nel cilindro la prima.

Allora: nel piano si annullano sia la curvatura intrinseca
che la curvatura media, nel cilindro solo la curvatura
media. Riguardo alle forme fondamentali: nel piano si
annulla la seconda forma fondamentale, mentre è possibile
dotare cilindro e piano di un sistema di coordinate in cui
la prima forma fondamentale è diagonale:

E=1, G=1, F=0. Rispetto a tali coordinate la seconda forma fondamentale per
il cilindro ha determinante nullo mentre ha
traccia pari all'inverso del raggio del cilindro.

Dal punto di vista
> riemanniano piano e cilindro sono la stessa cosa (localmente), quella che
> cambia e' l'immersione (un po' come una circonferenza e un nodo non banale
> in R^3 dal punto di vista topologico).
>
> Ciao,
>
> Paolo.


Ciao.



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Il 01 Dic 2003, 16:27, Slacky <vittorio@physics.it> ha scritto:
> Ciao,

> anche a me sembra il linguaggio di Nestruev. In particolare questa
> definizione mi ricorda il contenuto del capitolo 8 in cui i punti della
> varieta' vengono definiti in termini di classi di equivalenza di
> epimorfismi...ma non ho letto tanto bene quel capitolo :-(
> un giorno avro' tempo(spero...)
> Mi chiedo: in che "branca"(come non mi piace che esistano le
> distinzioni:-( ) della matematica si usa questo linguaggio? in qualcosa
> di legato alla geometria algebrica, suppongo...
> ciao
> slacky

Cioè ti chiedi in che ambito è nata la teoria degli
anelli, la compattificazione di Stone-Cech, i teoremi
di analisi, o dove sono stati usati insieme per la prima
volta? Credo che siano stati usati per la prima volta
da J.Pierre Serre (I premio Abel), Groetendieck, Cartan,
ed i bourbakisti in genere, quindi direi di sì, geometria algebrica,
superfici di Riemann, ed altro. Anche se poi
hanno riguardato le stesse basi logiche, specie la
compattificazione di Stone Cech e la teoria dei modelli
di Tarski. Come al solito di questi argomenti conosco
a stento le copertine.

Però mi sembra che poi sia stato considerato ora questo
ora quell'aspetto. Nestruev ne fa uso per parlare di
osservabili e di varietà.

A me piacerebbe capire con qualche esempio appena un pochino
più strutturato di quelli che abbiamo visto come faccia una
struttura così elaborata ed apparentemente lontana dall'idea
cartesiana di spazio a caratterizzare non dico una varietà,
ma addirittura la più generale forma di varietà concepibile.







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Cao Gianmarco,
grazie della risposta!,

Gianmarco Bramanti wrote:
> Cioè ti chiedi in che ambito è nata la teoria degli
> anelli, la compattificazione di Stone-Cech, i teoremi
> di analisi, o dove sono stati usati insieme per la prima
> volta? Credo che siano stati usati per la prima volta
> da J.Pierre Serre (I premio Abel), Groetendieck, Cartan,
> ed i bourbakisti in genere, quindi direi di sì, geometria algebrica,
> superfici di Riemann, ed altro. Anche se poi
> hanno riguardato le stesse basi logiche, specie la
> compattificazione di Stone Cech e la teoria dei modelli
> di Tarski. Come al solito di questi argomenti conosco
> a stento le copertine.

come mi sento ignorante...:-( ma la vita e' lunga!!!(sperem! :-) )

>
> Però mi sembra che poi sia stato considerato ora questo
> ora quell'aspetto. Nestruev ne fa uso per parlare di
> osservabili e di varietà.

ti piace il suo modo di vedere le cose? Io ho trovato il linguaggio
algebrico particolarmente comodo per fare conti in certi contesti...ma
ancora non ci ho fatto nulla di fondamentale.

> A me piacerebbe capire con qualche esempio appena un pochino
> più strutturato di quelli che abbiamo visto come faccia una
> struttura così elaborata ed apparentemente lontana dall'idea
> cartesiana di spazio a caratterizzare non dico una varietà,
> ma addirittura la più generale forma di varietà concepibile.

anche a me...potremmo aprire un thread: "Geometria algebrica e realta'",
o qualcosa del genere...
Purtroppo oggi parto per una settimana(Torino) e non ho tempo. Ti lascio
il compito, se hai voglia :-)
ciao
slacky

--
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