Il 29 Nov 2003, 21:20, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
scritto:

> > Ne sapete certamente tre volte tanto, quindi con molta umiltà
> > voglio chiedere se questo corrisponde a dire in modo generale
> > quello che nel caso delle superfici si esprime dicendo che la
> > conoscenza della prima forma fondamentale e della seconda forma
> > fondamentale per una superfice liscia caratterizza la superfice
> > a meno di isometriee.

A parte il teorema egrugium, è vero, almeno localmente,
che data la prima e la seconda forma fondamentale su
coordinate R^2 assegnate, allora la superfice è
univocamente determinata? Oppure basta la prima
forma fondamentale, ovvero esistono controesempi a
questa affermazione? Cioè esistono due superfici,
diciamo immerse in R^n, definite come immagini del
medesimo aperto di R^2 (sto ragionando localmente per
presentare il problema) e tali che le forme fondamentali
della prima e della seconda superfice sono identiche punto
punto ma non sono isometriche?

Dunque il tema è: esiste un modo di caratterizzare le
superfici intrinsecamente? La questione nasce da un
recente thread a cui Valter dette, come al solito,
un valido contributo. Copio ed incollo:


************************************************** ************
1) e' noto che ogni varieta' (di Hausdorff a base numerabile)
infinitamente differenziabile ammette infinite metriche riemanniane
infinitamente differenziabili.
2) Se la varieta' e' connessa, la metrica Riemanniana induce una
distanza sulla varieta'nel senso degli spazi metrici, prendendo
l'inf delle lunghezze delle curve che connettono due punti.
Tale distanza genera la stessa topologia sulla varieta' che era gia'
presente.
3) Si potrebbe enunciare allora tutta la questione di tern usando
la distanza di cui sopra e senza usare le carte, perche' si vede
facilmente usando "coordinate Riemanniane normali" che la distanza
(definita come sopra globalmente) e' localmente equivalente alla
distanza locale indotta da R^n tramite un arbitrario sistema di
coordinate in ogni carta locale
************************************************** ***********

Si parlava allora di trovare una caratterizzazione non atlas dependent del
concetto di varietà. Quindi le varietà non
erano, in quel contesto, varietà metriche. Ed evidentemente
costruire varietà con lo stesso atlante e la stessa topologia,
ma metricamente distinguibili è semplicissimo, basta
considerare una varietà immersa in in un E^n e applicare
alla varietà e ad un suo atlante una trasformazione liscia
di E^n in se. Tuttavia ora il problema mi sembra spostarsi:
è possibile definire intrinsecamente una varietà metrica?

> Direi che è inesatto. Il teorema egregium dice che la
> curvatura gaussiana, definita in termini della seconda forma >
fondamentale (che _non_ è invariante per isometrie) dipende
> solo dalla prima forma fondamentale (ovvero dai coefficienti
> di Christoffel), dunque è un invariante nella classe di
> isometria della superficie.

Ah ecco, cerco di chiarire le mie idee al riguardo:
Una isometria che cos'è? E' un'applicazione liscia
della superfice in se tale che la distanza fra tutte
coppie di punti immagine è invariante. Quindi il teorema
egregium dice che se conosco la prima forma fondamentale
e la seconda forma fondamentale, allora posso costruire
da questi un invariante rispetto alle isometrie. La
curvatura intrinseca, (poi direi anche la curvatura
gaussiana). Da questo teorema si può cavare un contributo
utile alla discussione del problema che ho indicato?

Per il momento può bastare.

Non so se questo coglie l'area tematica a cui pensava
Tern, che stava pensando ad un solo punto, ma so che
in genere fa domande su un punto per poi passare al
fibrato.



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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

"tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
news:Uxsyb.154390$vO5.6070477@twister1.libero.it.. .
> Scusami Paolo, vai un attimo a pagina 30 del documento che puoi scaricare
> all'indirizzo
> http://home.xnet.it/vtosatti/papers/geodiff.ps
>
> definizione 3.3.8.
>
> Li c'è scritto che nabla^2 f è un tensore, o meglio, un campo di tensori.
> In base a quello che mi hai fatto notare nabla^2 f(p) non è un tensore
> perch\`e non \`e C^infty M -lineare , per esempio nel primo argomento.

E chi l'ha detto? Io ho detto che se definisci
h(X,Y) = YXf,
nei punti in cui df non è nullo, questo non è un tensore. Tuttavia nabla^2 f
è a tutti gli effetti un campo tensoriale, che coincide con h soltanto nei
punti in cui il differenziale di f si annulla.
A proposito, hai seguito anche tu il corso di Abate?

Ciao,

Paolo.

"Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> wrote in message
news:80Z116Z216Z226Y1070233046X4011@usenet.libero. it...
> Il 29 Nov 2003, 21:20, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> scritto:
>
> A parte il teorema egrugium, è vero, almeno localmente,
> che data la prima e la seconda forma fondamentale su
> coordinate R^2 assegnate, allora la superfice è
> univocamente determinata? Oppure basta la prima
> forma fondamentale, ovvero esistono controesempi a
> questa affermazione? Cioè esistono due superfici,
> diciamo immerse in R^n, definite come immagini del
> medesimo aperto di R^2 (sto ragionando localmente per
> presentare il problema) e tali che le forme fondamentali
> della prima e della seconda superfice sono identiche punto
> punto ma non sono isometriche?

Si' che esistono. Prendi un aperto del piano e un aperto di un cilindro.
Per quanto riguarda la questione di come definire una varieta' senza l'uso
degli atlanti, c'e' la seguente possibilita', che fa uso della teoria dei
fasci.
Un R-spazio localmente anellato è uno spazio topologico dotato di un fascio
di R-algebre tale che le spighe sopra ogni punto siano algebre locali.
Un morfismo di R-spazi localmente anellati (X,F), (Y,G) è una coppia (f,f#),
dove f: X --> Y è un'applicazione continua, e f#: G --> (f_*)F è un morfismo
di fasci tale che le mappe indotte sulle spighe siano morfismi di R-algebre
locali (ovvero R-lineari e tali che la controimmagine dell'ideale massimale
sia l'ideale massimale).
Una n-varietà differenziabile è un R-spazio localmente anellato localmente
isomorfo (come R-spazio localmente anellato) ad un aperto di R^n con il
fascio delle funzioni C^infinito a valori reali.
Se M,N sono varietà, un'applicazione differenziabile tra M ed N è un
morfismo di R-spazi localmente anellati.
Le varietà definite in questo modo formano una categoria che è equivalente
alla categoria delle varietà definite in modo standard.

> Ah ecco, cerco di chiarire le mie idee al riguardo:
> Una isometria che cos'è? E' un'applicazione liscia
> della superfice in se tale che la distanza fra tutte
> coppie di punti immagine è invariante.

Attenzione, pero', se la varietà e' immersa hai due distanze a disposizione:
quella ereditata dall'ambiente e quella indotta dalla metrica riemanniana
(la minima lunghezza di una curva che connette due punti). Quella che resta
invariata per isometrie e' la seconda.

Ciao,

Paolo.

Forse non mi sono spiegato, quando ti ho detto che

[...]
devo
dedurre che c'è un errore a pagina 30?
[...]

io volevo dire: grazie a quello che mi hai fatto notare tu, noto che a
pagina 30 c'è un errore perch\`e nabla ^2 f non è C^infty (M) lineare nel
suo 1° argomento, dunque non è un campo di tensori, o meglio è un campo di
tensorie sse nabla f = 0.

dimmi per piacere se sei d'accordo con me. Ciao Tern.

"tern" <tern_@ibero.it> wrote in message
news:l2Hyb.159715$e6.5865525@twister2.libero.it...
>
> Forse non mi sono spiegato, quando ti ho detto che
>
> [...]
> devo
> dedurre che c'è un errore a pagina 30?
> [...]
>
> io volevo dire: grazie a quello che mi hai fatto notare tu, noto che a
> pagina 30 c'è un errore perch\`e nabla ^2 f non è C^infty (M) lineare nel
> suo 1° argomento, dunque non è un campo di tensori, o meglio è un campo di
> tensorie sse nabla f = 0.
>
> dimmi per piacere se sei d'accordo con me. Ciao Tern.

No, non sono d'accordo. Non capisco perche' dici che Nabla^2 f non e' un
tensore. Non sei d'accordo che la derivata covariante e' un applicazione che
manda (p,q) tensori in (p,q+1) tensori?

Ciao,

Paolo.

> No, non sono d'accordo. Non capisco perche' dici che Nabla^2 f non e' un
> tensore. Non sei d'accordo che la derivata covariante e' un applicazione
che
> manda (p,q) tensori in (p,q+1) tensori?

Sì sono d'accordo, e sono d'accordo anche sul fatto che mi sto confondendo e
che la raagione sta dalla parte tua e non dalla mia, il problema è che
quando calcolo
nabla^2(f) (gX,Y) =(Yg)(Xf)+g(YX)f-(dgY)X - g \nabla_{Y}X

e quando calcolo

nabla^2(f) (X,Y) =Y(Xf) - \nabla_{Y}X

dunque nabla^2(f) (gX,Y)

diverso

g nabla^2(f) (X,Y).

Ora, se nabla^2(f) fosse un campo di tensori, sarebbe per il cosiddetto
tensor characterization lemma C^infty M lineare, in particolare nel primo
argomento.
g nabla^2(f) non \`e C^infty lineare nel primo argomento dunque non è un
campo dui tensori.

Sto sbagliando. Non so dove.
Ciao,
Grazie Paolo.

Problema risolto, sbagliavo i conti perchè avevo perso un pezzo per la
strada.
Scusate
ciao,
Tern

Il 01 Dic 2003, 13:07, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
scritto:

Cioè esistono due superfici,
> > diciamo immerse in R^n, definite come immagini del
> > medesimo aperto di R^2 (sto ragionando localmente per
> > presentare il problema) e tali che le forme fondamentali
> > della prima e della seconda superfice sono identiche punto
> > punto ma non sono isometriche?

> Si' che esistono. Prendi un aperto del piano e un aperto di un cilindro.

E trovo che la seconda forma fondamentale per il piano
è identicamente nulla, mentre per il cilindro trovo
una curvatura gaussiana non nulla. Quindi non va bene
come esempio. Pure se, tuttavia, la curvatura intrinseca
è nulla in entrambi gli esempi, ed infatti esiste una
isometria intrinseca fra il cilindro ed il piano.

Però suppongo che dal punto di vista intrinseco la
seconda forma fondamentale risulta nulla in entrambi
i casi. E quindi questa circostanza permette di
verificare la validità del teorema egregium. Esiste
un isometria (intrinseca) fra cilindro e piano.

L'idea di caratterizzare la curvatura ed eventualmente
la torsione e tutte le eventuali caratteristiche aggiuntive,
specificando, per ogni punto della varietà n-dimensionale,
un differenziale intrinseco di ordine opportuno non è
poi da buttare. Una domanda che uno può porsi in questo
contesto è allora che cosa necessita, per determinare
intrinsecamente, una varietà n-dimensionale immersa in
una varietà euclidea n+m dimensionale, oltre alla
specificazione della metrica. Quando basta la metrica,
se basta, quando serve l'hessiano, quando serve altro?

Ora, rinunciando al concetto di varietà immersa. Questo
tipo di impostazioni potrebbe essere utile per tenere
in giusta considerazioni proprietà, come l'inerzia, o
gli effetti di gauge. L'impostazione classica della
relatività generale non faceva uso di dimensioni ulteriori,
il principio di equivalenza rendeva prettamente intrinseche
tutte le proprietà ritenute fisicamente rilevanti.

L'aggiungersi di interazioni ulteriori e la necessità
di una teoria quantizzata hanno portato alla formulazione
di concetti geometrici in cui alle informazioni intrinseche
si aggiungessero altre informazioni. Che io sappia, uno
stadio è stato quello di introdurre i fibrati differenziabili.

E' stato quindi tentato di tenere conto direttamente
delle proprietà di fase formulando le proprietà di accoppiamento
fra la geometria e le altre interazioni, e questo ha portato
alla formulazione di varietà in termini di analisi armonica.

Le informazioni locali riguardo ad una parte della
struttura delle interazioni, "nascosta" dalla geometria di Lorentz-Poincarè
si è contato di poterle tenere in considerazione grazie alle teorie di
Yang-Mills.

Ed in seguito, tentando di integrare i significativi
progressi compiuti da questo strumento teorico (dopo
il superamento delle difficoltà dell'ipotesi del gap
mass, mediante il meccanismo di Higgs) in una teoria
della gravitazione si è giunti ad imporre importanti
delimitazioni alle possibili teorie di stringa, sempre
facendo uso di strumenti di analisi armonica è per questo
che avevo pensato alle estensioni analitiche dei germi,
quale strumento complementare alla coomologia di De Rham
per specificare la geometria.

"Chiarito" questo punto rimango con una curiosità: se
i punti di crisi della curvatura intrinseca di una
varietà immersa sono isolati, (per punto di crisi
intendo un punto in cui la curvatura intrinseca si
annulla) possiamo dire che la superfice è
univocamente determinata?

Nota che il problema di tener conto di dimensioni
ulteriori non è specioso, è motivato dalla necessità
di compendiare una fenomenologia che si presente a
livello intrinseco. Per stare nell'esempio del cilindro
e del piano. Se guardi la cinematica del punto materiale
non ti accorgi della differenza fra un cilindro ed un
piano, ma se guardi la dinamica le cose cambiano:
la superfice è sollecitata.



Paolo Capriotti wrote:

Per quanto riguarda la questione di come definire una varieta' senza l'uso
degli atlanti, c'e' la seguente possibilita', che fa uso della teoria dei
fasci.

Un R-spazio localmente anellato è uno spazio topologico dotato di un fascio
di R-algebre tale che le spighe sopra ogni punto siano algebre locali.

Un morfismo di R-spazi localmente anellati (X,F), (Y,G) è una coppia (f,f#),
dove f: X --> Y è un'applicazione continua, e f#: G --> (f_*)F è un morfismo
di fasci tale che le mappe indotte sulle spighe siano morfismi di R-algebre
locali (ovvero R-lineari e tali che la controimmagine dell'ideale massimale
sia l'ideale massimale).
Una n-varietà differenziabile è un R-spazio localmente anellato localmente
isomorfo (come R-spazio localmente anellato) ad un aperto di R^n con il
fascio delle funzioni C^infinito a valori reali.
Se M,N sono varietà, un'applicazione differenziabile tra M ed N è un
morfismo di R-spazi localmente anellati.
Le varietà definite in questo modo formano una categoria che è equivalente
alla categoria delle varietà definite in modo standard.


Molto interessante, mi ricorda il linguaggio di
Jet Nestruev.


> > Ah ecco, cerco di chiarire le mie idee al riguardo:
> > Una isometria che cos'è? E' un'applicazione liscia
> > della superfice in se tale che la distanza fra tutte
> > coppie di punti immagine è invariante.

Attenzione, pero', se la varietà e' immersa hai due distanze a disposizione:
quella ereditata dall'ambiente e quella indotta dalla metrica riemanniana
(la minima lunghezza di una curva che connette due punti). Quella che resta
invariata per isometrie e' la seconda.

Infatti.

Ciao,

Paolo.


--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

Ciao,

> Molto interessante, mi ricorda il linguaggio di
> Jet Nestruev.

anche a me sembra il linguaggio di Nestruev. In particolare questa
definizione mi ricorda il contenuto del capitolo 8 in cui i punti della
varieta' vengono definiti in termini di classi di equivalenza di
epimorfismi...ma non ho letto tanto bene quel capitolo :-(
un giorno avro' tempo(spero...)
Mi chiedo: in che "branca"(come non mi piace che esistano le
distinzioni:-( ) della matematica si usa questo linguaggio? in qualcosa
di legato alla geometria algebrica, suppongo...
ciao
slacky

"Gianmarco Bramanti" <gianmarco100@inwind.it> wrote in message
news:192Z167Z204Z4Y1070289660X19407@usenet.libero. it...
> Il 01 Dic 2003, 13:07, "Paolo Capriotti" <capriottiNOSPAM@sns.it> ha
> scritto:
>
>
> E trovo che la seconda forma fondamentale per il piano
> è identicamente nulla, mentre per il cilindro trovo
> una curvatura gaussiana non nulla.

No, la curvatura gaussiana, almeno secondo la definizione che conosco io, è
nulla in entrambi i casi.

> Però suppongo che dal punto di vista intrinseco la
> seconda forma fondamentale risulta nulla in entrambi
> i casi.

La prima, non la seconda.

Del resto che hai scritto ho capito molto poco.

Ciao,

Paolo.